Eratosthène de Cyrène, savant grec du IIIème siècle avant J.-C., fut l'un des premiers à supposer que la Terre était ronde et il entreprit de calculer le rayon

Eratosthène de Cyrène, savant grec du IIIème
siècle avant J.-C., fut l'un des premiers à
supposer que la Terre était ronde et il entreprit
de calculer le rayon terrestre. Il utilisa alors les
données suivantes :
Le 21 juin, à midi, le Soleil se reflète au
fond d'un puits à Syène, et le même jour à la
même heure, à Alexandrie, un obélisque
vertical de 8 coudées a une ombre de 1
coudée (la coudée est une unité de mesure
ancienne). Cette situation est représentée cicontre.
Le point O représente le centre de la Terre, S
la ville de Syène et A la ville d'Alexandrie.
[AC] représente l'obélisque de 8 coudées, et [AB] l'ombre de 1 coudée. On considère
que les rayons solaires sont parallèles et que le triangle ABC est rectangle en A.
1) Calculer la mesure de l'angle ACB (on arrondira au centième de degré près).
2) Démontrer que les angles ACB et AOS ont la même mesure.
3) Eratosthène estima à 5 000 stades la distance de Syène à Alexandrie. Autrement
dit, l'arc de cercle AS mesure 5 000 stades.
a) Calculer la longueur de l'arc de cercle AS en km, sachant qu'un stade vaut
environ 157 m.
b) Calculer la longueur du tour de la Terre, puis le rayon terrestre, à 10 km près.
c) Avec les techniques actuelles, le rayon terrestre moyen est évalué à environ 6 371
km. Que pensez-vous de la précision de la mesure proposée par Eratosthène ?